Το Οστομάχιον του Αρχιμήδη

CULTURAL PROGRAM: «Τhe Ostomachion of Archimedes: an ancient mathematical problem as well as an ancient puzzle» 

Secondary school of Rentina (prefecture of Thessaloniki, Greece) 

 In this program, the main goal was to gather information and study the following:

• The biography of the great Greek mathematician, inventor, physicist, engineer and astronomer, Archimedes
• The Palimpsest of Archimedes
• The Ostomachion of Archimedes
• Construct the Ostomachion of Archimedes and create our own figures

The Ostomachion (in Greek means the battle of the bones) of Archimedes is a square which consists of 14 geometrical pieces. It is beleived that, besides the fact that in ancient Greek was a game for children, Archimedes set also a mathematical problem, the first in combinatorics: how many different arrangements of the 14 geometrical pieces, that consists the ostomachion, are possible? The answer is 536 different distinct solutions! If we consider rotation, reflection and replacement of the same pieces (grey and blue, light blue and pink) there are 17.152 solutions. The mathematical problem was recently solved by a mathematician with a doctorate in mathematics from Cornell University, Bill Cutler. ( more info about the solutions of ostomachion in http://www.math.cornell.edu/~mec/GeometricDissections/1.2%20Archimedes%20Stomachion.html )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΡΟΛΟΓΙΑ - MATHS CLOCKS

CULTURAL PROGRAM: «The counting of time and the calendar systems» 

Secondary school of Rentina (prefecture of Thessaloniki, Greece) 

In this program, the main goal was to gather information and study the following:

• The concept of time (in physics, philosophy, day to day life, biology, etc)
• The calendar systems (solar, lunisolar, lunar calendars)
• The calendars of the past and their differences as well as the most recent calendars and the transition from the Julian to Gregorian calendar
• How do we measure time from the ancient years? (sundials, clepsydras, candles, astrolabes, mechanical clocks, atomic clocks, etc)
• Create our own Maths clocks

7 different Maths clocks were created using wood at the back.  After we set up the clock mechanisms on the clocks, we placed them in the entrance of our school, over the school canteen. The clocks show the local time of 7 randomly chosen towns of all over the world representing all the continents. 

  

The clocks have three basic areas - features:

• in the center of the clock there are geometric shapes like circles, semicircles, parallelograms, squares, trapezium, rhombus, polygons etc.
• the numbers showing the time are numerical expressions
• in the periphery of the clock, the basic information of our program on: on the top of the clock the name of the program is placed (Η μέτρηση του χρόνου και τα ημερολογιακά  συστήματα) and at the bottom the name of our school (Γυμνάσιο Ρεντίνας), as well as the year and the class (Γ2013) and the words “cultural program” (Πολιτιστικό πρόγραμμα)

   

Με τη βοήθεια του προγράμματος Modellus!!!

Η ομορφιά του Ιmaginary

Οι εικόνες που βραβεύτηκαν στον ελληνικό διαγωνισμό Ιmaginary, τον οποίο συνδιοργάνωσαν ΤΟ ΒΗΜΑ και το Ινστιτούτο Ομπερβόλφαχ, αποτελούν την απτή απόδειξη του ότι τα μαθηματικά είναι όμορφα! Πρόκειται για δημιουργήματα μαθηματικών εξισώσεων με τη βοήθεια του προγράμματος Surfer. 

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ:  13/02/2011

Τα μέλη της Κριτικής Επιτροπής συμφώνησαν ομόφωνα: οι εικόνες ήταν πολύ όμορφες. Τόσο ώστε ορισμένοι εξ αυτών δήλωσαν ότι δυσκολεύτηκαν αρκετά να επιλέξουν και να βαθμολογήσουν τις καλύτερες.

Η μυστηριώδης γυναίκα χωρίς πρόσωπο ξεχώρισε συγκεντρώνοντας τη μεγαλύτερη βαθμολογία. Ακολούθησαν το διακριτικό φθινοπωρινό φύλλο, το χαριτωμένο δελφινάκι, η κομψή βασίλισσα του σκακιού και οι χρωματιστές παράξενες καμπύλες.

Αυτό δεν σημαίνει ότι οι υπόλοιπες δεν παρουσίαζαν και αυτές τη δική τους γοητεία.

Από τη λιτή τουλίπα, το παιχνιδιάρικο φεγγαράκι και την κομψή κορδέλα του ΑΙDS ως το διάτρητο αρειανό αγγείο ή τη δαιδαλώδη οδό της απωλείας, όλες είχαν να πουν κάτι διαφορετικό. Παράλληλα όμως είχαν και κάτι κοινό: το γεγονός ότι όλες αποτελούσαν την εικαστική «έκφραση» μιας αλγεβρικής εξίσωσης.

Το πρόγραμμα Surfer 

Φτιάχτηκαν με το Surfer, ένα πρόγραμμα που έχει σχεδιάσει το γερμανικό Μαθηματικό Ινστιτούτο του Ομπερβόλφαχ (Μathematisches Forschungsinstitut Οberwolfach) με στόχο να κάνει τα μαθηματικά πιο προσιτά στο ευρύ κοινό μέσα από την καλλιτεχνική οπτικοποίησή τους. Το Surfer αποτελεί μια απλοποιημένη εκδοχή των ειδικών προγραμμάτων που ανέπτυξαν μαθηματικοί του Ινστιτούτου για να δημιουργήσουν καλλιτεχνικές απεικονίσεις αλγεβρικών επιφανειών. Οι απεικονίσεις αυτές παρουσιάζονται στην ιδιαίτερα επιτυχημένη έκθεση «Ιmaginary» μαζί με διαδραστικά «παιχνίδια» που μυούν τους επισκέπτες στην ομορφιά της αλγεβρικής γεωμετρίας. Η έκθεση «ταξιδεύει» τα τελευταία χρόνια ανά τον κόσμο, ενώ παράλληλα το Ινστιτούτο έχει διεξαγάγει σε διάφορες χώρες «διαγωνισμούς Surfer» ανάλογους με αυτόν που διοργάνωσε μαζί με «Το Βήμα».

«Σε κάθε διαγωνισμό με το Surfer οι εικόνες φαίνεται να είναι πολύ διαφορετικές» λέει οΑντρέας Ματ, μαθηματικός του Ινστιτούτου του Ομπερβόλφαχ, συντονιστής όλων των διοργανώσεων στο πλαίσιο της Ιmaginary και μέλος της Κριτικής Επιτροπής και για τον ελληνικό διαγωνισμό. «Αυτό είναι εκπληκτικό αν σκεφθεί κανείς ότι τα τελευταία χρόνια έχουμε συγκεντρώσει περισσότερες από 40.000 εικόνες».

Αν και η βάση τους είναι η «κοινή» γλώσσα των μαθηματικών, οι εικόνες φαίνεται τελικά να αντικατοπτρίζουν κατά κάποιον τρόπο, αν όχι την ψυχοσύνθεση, τουλάχιστον την αισθητική ιδαιτερότητα του κάθε λαού. «Ο διαγωνισμός της Ελλάδας προσέφερε πολύ κομψές εικόνες.Κομψές υπό την έννοια των καθαρών γραμμών, χωρίς υπερβολές στα σχήματα,με μορφές περισσότερο σαφείς και παραστατικές» προσθέτει ο αυστριακός μαθηματικός. «Μου άρεσαν ιδιαίτερα οι απεικονίσεις του “Dolphin” και του “Jet” αλλά και του όμορφου “September Leaves”,στο οποίο τα χρώματα έχουν επιλεγεί με εξαιρετικότρόπο».

Παιχνίδι για όλους 

Το πιο εντυπωσιακό ίσως στο Surfer είναι ακριβώς αυτό: ότι απεικονίζει με τον πιο απτό τρόπο τη συνήθως αόρατη για όσους δεν είναι μαθηματικοί ομορφιά των μαθηματικών. «Οι μεγάλοι φυσικοί Πολ Ντιράκ και Σουμπραμαγιάν Τσαντρασέκαρ έχουν μιλήσει για την ομορφιά των εξισώσεων» λέει ο Χάρης Βάρβογλης, καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης ο οποίος μετείχε στην Κριτική Επιτροπή του ελληνικού διαγωνισμού. «Σήμερα μετον διαγωνισμό αυτόν που διοργάνωσε “Το Βήμα” διαπιστώνουμε ότιομορφιά και αισθητική αξία μπορούμε να βρούμε και στη γραφικήαπεικόνιση των εξισώσεων. Τα συγχαρητήριά μου τόσο στους βραβευθέντες όσο και σε αυτούς που απλώς έλαβαν μέρος χωρίς να λάβουν κάποια διάκριση. Εδειξαν ότι η εκτίμηση αυτής της ομορφιάς δεν είναι προνόμιο μόνο των μαθηματικών» .

Ολοι οι συμμετέχοντες, από τους πιο μεγάλους ως τους πιο μικρούςυπήρξαν και συμμετοχές μαθητών του γυμνασίου-, έδωσαν πραγματικά μια καλλιτεχνική διάσταση στις μαθηματικές συναρτήσεις. Ο Παύλος Σπυράκης, καθηγητής Πληροφορικής στο Πανεπιστήμιο Πατρών και διευθυντής στο Ερευνητικό Ακαδημαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών (ΕΑΙΤΥ), ο οποίος μετείχε επίσης στην Κριτική Επιτροπή, θεωρεί ότι αυτού του είδους η ενασχόληση με τα μαθηματικά καλλιεργεί τα ταλέντα και την εξυπνάδα. «Το Surfer είναι ένα πολύ πρωτότυπο πρόγραμμα γιατί συνδυάζει τα μαθηματικά ταλέντα με τα ταλέντα αισθητικής, δηλαδή τον καλλιτέχνη με τον μαθηματικό» επισημαίνει, εξηγώντας ότι οι δημιουργοί πρέπει να γνωρίζουν άλγεβρα ώστε να έχουν αίσθηση του τι μπορούν να αναπαραστήσουν οι εξισώσεις και του πώς να τις τροποποιήσουν κατάλληλα. «Παράλληλα όμωςως προς τα χρώματα και το αντικείμενο που θα αναπαραστήσουν πρέπει να έχουν αισθητική και καλλιτεχνική άποψη» προσθέτει. «Το “Faceless Woman” ήταν το πιο εντυπωσιακό σχέδιο. Και τα άλλα, όμως, φέρ΄ ειπείν το “Chess Queen”,είχαν ενδιαφέρον.Η ιδέα του Ινστιτούτου του Ομπερβόλφαχ, που είναι το σημαντικότερο αυτή τη στιγμή στην προώθηση των μαθηματικών στην Ευρώπη,είναι πραγματικά πρωτοποριακή».

Τα κριτήρια των κριτών 

Τι ήταν αυτό που «μέτρησε» περισσότερο στην αξιολόγηση των κρι τών; Εκτός από τον αισθητικό παράγοντα, μια σημαντική παράμετρος ήταν η απλότητα του τύπου που είχε χρησιμοποιηθεί για το κάθε σχέδιο. «Στα μαθηματικά έχουμε τη δυνατότητα φτιάχνοντας σύνθετες συναρτήσεις να φτιάξουμε σύνθετα σχέδια, ένα πόδι, ας πούμε, ή ένα χέρι, και μετά να τα συνθέσουμε- το δείχνει άλλωστε αυτό και το πρόγραμμα» εξηγεί ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, μαθηματικός, συγγραφέας και μέλος της ομάδας Θαλής + Φίλοι ο οποίος μετείχε στην Κριτική Επιτροπή. «Εγώ προτίμησα τα πιο απλά σχέδια, αυτά που συνδύαζαν ένα ικανοποιητικό στο μάτι αποτέλεσμα με μια απλότητα στον τύπο ώστε να αναδεικνύεται ότι μέσα σε όλες τις εξισώσεις περικλείεται μιαπολυπλοκότητα.Επίσης έδωσα προτεραιότητα στα αισθητικά επιτεύγματα των σχημάτων παρά των χρωμάτων» .

Οσον αφορά την καθαρά καλλιτεχνική διάσταση, ο πλέον αρμόδιος να κρίνει είναι ίσως οΜιχάλης Αρφαράς, καθηγητής και διευθυντής του Τομέα Χαρακτικής της Ανωτάτης Σχολής Καλών Τεχνών. «Τα σχέδια ήταν όλα πολύ όμορφα, το γεγονός ότι έβγαιναν από μαθηματικές εξισώσεις ήταν εντυπωσιακό» λέει. «Είχαν ωραία χρώματα και παρουσίαζανμεγάλη φωτεινότητα.Πολλά από αυτά είχαν και χιούμορ,κάτι που δεν περίμενα από τις μαθηματικές εξισώσεις» .

Για όσους ενδιαφέρονται να βελτιώσουν το αισθητικό μέρος των σχεδίων τους ο καθηγητής έχει να προσφέρει ορισμένες συμβουλές που μπορούν να τους βοηθήσουν. «Ανμπορώ να επισημάνω κάποιο “μειονέκτημα” από την άποψη της καλλιτεχνικήςέκφρασης,αυτό ήταν ότι τα σχέδια έδειχναν όλα πολύ “πλαστικά”,με την έννοια ότι έμοιαζαν να είναι από πλαστικό,σαν να μην υπήρχε περιγραφή άλλων υλικών, άλληςυφής.Επίσης αυτά που ήταν σε λευκό φόντο έδειχναν σαν να είναι κομμένα με ψαλίδι,ενώ τα περισσότερα ήταν τοποθετημένα συμμετρικά στο κάδρο,δηλαδή στη μέση,ενώ με μιαάλλη τοποθέτηση θα μπορούσε ενδεχομένως να επιτευχθεί ένα πιο εντυπωσιακό αποτέλεσμα». Για τους καλλιτέχνες που έχουν κάποια «μαθηματική» αίσθηση ο κ. Αρφαράς βλέπει στο Surfer ένα πρωτότυπο εργαλείο πειραματισμού. «Το πρόγραμμα είναι πολύ ενδιαφέρον και στο μέλλον μπορεί να έχει μεγάλη εξέλιξη ως μέσο αισθητικής έκφρασης» καταλήγει.

Αν θέλετε να «παίξετε» με το Surfer μπορείτε να «κατεβάσετε» το πρόγραμμα ελεύθερα από την ιστοσελίδα του «Βήματος» (www.tovima.gr) και της έκθεσης Ιmaginary (www.imaginary-exhibition.com).

ΠΗΓΗ: ΤΟ ΒΗΜΑonline

http://www.tovima.gr/science/mathematics-computers/article/?aid=384251&h1=true